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Tema: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquema.

  1. #1
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    Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquema.


    Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Unos cálculos y un esquema que explica las relaciones entre ángulo del mástil, ángulo del diapasón, grosor del diapasón, curvatura de la tapa y altura de las cuerdas.

    En el foro guitarra.artelinkado ya se ha hablado varias veces sobre el ángulo entre el mástil y la tapa armónica, por ejemplo aquí (y en seguida). Francamente, nunca llegué a tomarme el tiempo para seguir las explicaciones escritas, más bien pensé de aclarar el asunto algún día con un simple dibujo.

    Cuando por fin me había puesto a dibujar, de una vez también he añadido algunas formulas que nos permiten de hacer unos "prognosis" sobre el diseño que estamos empleando. Con eso no quiero crear la imagen que yo sería un matemático, el contrario es el caso. Pero a veces, a pesar de todo la matemática nos puede ayudar de imaginarnos ciertas cosas.

    También la curvatura que se le da a la tapa armónica juega un rol importante en el diseño del mástil y del diapasón. Hay que tener en cuenta que la curvatura que con el ahuecado de la solera se le da a la tapo armónica, al momento de poner las cuerdas disminuye. El guitarrero Norteamericano Eugene Clark, en el artículo Building with the Spanish Solera, American Lutherie Nr. 92, 2007 menciona que la curvatura final de la tapa (guitarra con cuerdas afinadas) requiere una solera que tenga una curvatura que sea aproximadamente 1.5 veces mayor. Con otras palabras: si la curvatura de la solera, en su centro llega a una profundidad máxima de 3 mm, al final la tapa tendrá un abombado de 2 mm. Parte de la curvatura la tapa ya pierde en el proceso de hacer la guitarra, un poco más se pierde la curvatura al tensar las cuerdas.

    Adelantando el resumen (los enlaces a los siguientes mensajes seguirán en unos minutos):
    • Aquí está la fórmula que nos permite calcular el radio de la curvatura, partiendo de la profundidad máxima del vaciado de la solera, y del diámetro de la plantilla en la altura del puente / ancho máximo del lóbulo inferior.
    • Aquí está la fórmula que nos permite calcular la profundidad máxima del vaciado de la solera, partiendo del radio de curvatura y del diámetro de la plantilla en la altura del puente / ancho máximo del lóbulo inferior.
    • Aquí presento un esquema que explica de manera fácil las relaciones entre ángulo del mástil, ángulo del diapasón, grosor del diapasón, curvatura de la tapa y altura de las cuerdas.
    • Aquí está la fórmula que permite calcular el vaciado circular o que más bien de la curvatura de un taco de lija curvado, partiendo de radio de curvatura.

  2. #2
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    Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquema.

    Fórmula para calcular el radio de la curvatura, partiendo de la profundidad máxima del vaciado de la solera, y del diámetro de la plantilla en la altura del puente / ancho máximo del lóbulo inferior.


    Por hacer las medidas mejor visibles la curvatura en el dibujo es de un radio exageradamente pequeño, y la solera (rectángulo) es demasiado gruesa.

    R = radio de la curvatura de la solera
    D = "diámetro" de la plantilla en la altura del puente / ancho máximo del lóbulo inferior
    Pmax = profundidad máxima del vaciado de la solera

    Empecemos con:
    (1)

    Según las ecuaciones binómicas (ver cuadernos del colegio... )
    (2)

    Entonces, en la primera fórmula (1) podemos remplazar por

    y obtenemos:
    (3)

    =>
    (4)

    =>
    (5)

    =>
    (6)
    Úlima edición por charangohabsburg fecha: 20-11-2009 a las 12:36 AM Razón: Añadido enlace a "cuadernos del colegio" ;-)

  3. #3
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    Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquema.

    Fórmula para calcular la profundidad máxima del vaciado de la solera, partiendo del radio de curvatura y del diámetro de la plantilla en la altura del puente / ancho máximo del lóbulo inferior.


    R = radio de la curvatura de la solera
    D = "diámetro" de la plantilla en la altura del puente / ancho máximo del lóbulo inferior
    Pmax = profundidad máxima del vaciado de la solera

    Vamos partiendo desde la misma fórmula como antes:
    (1)

    =>
    (7)

    =>
    (8)

    =>
    (9)

    =>
    (10)

    Listo.

  4. #4
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    Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquema.

    Esquema que explica de manera fácil las relaciones entre ángulo del mástil, ángulo del diapasón, grosor del diapasón, curvatura de la tapa y altura de las cuerdas.

    Click en la imágen para verla en plena resolución (2288px × 1495px)

    Las medidas en el dibujo solamente representan un ejemplo (de una sola cuerda).

    El esquema no es proporcional, o sea:
    • el eje y' de la "altura" está estirado: un cuadro del papel representa un milímetro.
    • el eje x' está comprimido. Lo importante es que el traste 12 está en el centro entre cejuela y selleta.
    ...y está representando la curvatura de la tapa y la forma de los trastes de manera simbólica,
    • en el dibujo solamente se respeta sus respectivas alturas.

    La curvatura rayada representa la tapa "hundida" por aproximadamente 1/3 (según Eugene Clark, véase introducción aquí). Respectivamente, la cruz rayada representa la altura de la selleta con tapa "hundida" por la tensión de las cuerdas.

    Este simple modelo nos permite de jugar, cambiando ángulo del mástil (medido en elevación en milímetros), grosor del diapasón, dimensiones verticales de puente con selleta, y altura (curvatura) de la tapa.
    Úlima edición por charangohabsburg fecha: 14-09-2015 a las 04:17 PM Razón: Añadir colores a los elementos en el esquema

  5. #5
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    Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquema.

    Fórmula para calcular el vaciado circular o más bien la curvatura de un taco de lija curvado, partiendo del radio de curvatura.

    De todas maneras, hay que tener en cuenta que el vaciado de la solera debido a la forma no circular de la guitarra, no es perfectamente circular, más bien la periferia a del vaciado se parece a una pera. Rafael López Porras, en su página web http://www.rafaellopezehijo.com tiene unas buenas ilustraciones del vaciado de la solera.


    R = radio de la curvatura de la solera
    x = distancia desde el centro de la solera
    p = profundidad del vaciado en una distancia x desde el centro de la solera
    Pmax = profundidad máxima del vaciado de la solera ("centro")
    a, y = distancias auxiliares

    (11) donde (12)

    (13)

    =>
    (14)

    =>
    (15)

    Ahora, a la fórmula (11) insertemos y de la fórmula (12):
    p = Pmax - (R - a), donde vamos a insertar a (15) y obtendremos:
    (16)

    =>
    (17)

    Con este p en función de x (y de R y de Pmax, ambas medidas conocidas) se puede calcular los puntos de, por ejemplo un taco de lijar.
    Úlima edición por charangohabsburg fecha: 19-11-2009 a las 01:06 PM Razón: Eliminado un ejemplo por haberme equivicado.

  6. #6
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Bueno, Markus...

    Menudo trabajo... desde mi profano punto de vista:

    O mejor:

  7. #7
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Amigo Markus,

    Impresionante el trabajo, gracias por compartirlo con nosotros.
    Un saludo.
    Julio Gimeno.
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  8. #8
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Amigo Julio:
    Gracias por tu amable comentario.

    Cita Originalmente escrito por Julio Gimeno Ver mensaje
    Impresionante el trabajo, [...]
    Al terminar esta presentación pensaba casi lo mismo, pero en un sentido negativo: me pareció impresionante el número de renglones que contienen fórmulas. Esto podría intimidar a los que no se preocupan mucho de las matemáticas (aunque no me puedo imaginar que esto te podría pasar a tí, Julio).

    En fin, solamente se quedan tres fórmulas:
    1. para saber el radio que corresponde a una cierta profundidad máxima de la solera: (6)
    2. para saber la profundidad máxima de un cierto radio de vaciado de la solera: (10)
    3. para saber la profundidad del vaciado en cualquier lugar de la solera: (17)

    Todo el resto es explicación y derivación de las fórmulas, por no decaer al pecado de hacer creer en vez de hacer entender.
    Sobre todo las fórmulas (6) y (10) pueden satisfacer una curiosidad que por lo menos a mí varias veces me asaltaba.

    El esquema
    para visualizar los efectos de las medidas de ciertos componentes de la guitarra ya lo tenía en mi mente desde varios años. En realidad se trata de algo bastante simple pero, según mi opinión muy útil por no perder el norte al momento de tomar decisiones respecto a elementos importantes del diseño de la guitarra.

    Amigo Silvestre: gracias por el aplauso.
    Cita Originalmente escrito por Silvestre Peña Ortega Ver mensaje
    Menudo trabajo... [...]
    Si era trabajo, aunque tengo que confesar que (casi) solamente consistía en realizar los dibujos, encontrar sus tres correspondientes fórmulas, escribirlas, escanearlas y recortar los scans, y redactar el texto. La mayor parte del trabajo intelectual, felizmente ya lo han hecho los científicos de hace muchos siglos. Por otro lado siempre es un esfuerzo de volver a buscar lo que se ha aprendido hace años. Si gracias a esta presentación en algún momento alguien se podrá ahorrar esta búsqueda, la misión estará cumplida.

  9. #9
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Muy interesante Markus. Habrá que ponerlo en práctica en la próxima solera que quiero hacerme nueva.

    Gracias y un saludo.

  10. #10
    Fecha de Ingreso
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Amigo Markus. Llego muy tarde porque confieso que entro poco por aquí y no había visto este hilo.

    ¡Fantástico! Un gran trabajo.

  11. #11
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    Feb 2008
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Muchas gracias por tu elogio, Rafael.

    Una pregunta.
    En el primer mensaje de este hilo he mencionado la cantidad del hundimiento de la tapa domada al momento de someterla a la tensión de las cuerdas, refiriéndome unicamente en la experiencia del guitarrero Eugene Clark:

    Cita Originalmente escrito por charangohabsburg Ver mensaje
    [...] Hay que tener en cuenta que la curvatura que con el ahuecado de la solera se le da a la tapo armónica, al momento de poner las cuerdas disminuye. El guitarrero Norteamericano Eugene Clark, en el artículo Building with the Spanish Solera, American Lutherie Nr. 92, 2007 menciona que la curvatura final de la tapa (guitarra con cuerdas afinadas) requiere una solera que tenga una curvatura que sea aproximadamente 1.5 veces mayor. [...]
    ¿Puedes confirmar este factor de aproximadamente 1.5?

    Seguramente este factor depende de varios otros factores, y no estoy muy seguro dentro de que márgenes puede oscilar.

    Por supuesto estoy dirigiendo la misma pregunta también a los demás guitarreros que están leyendo en este foro.


    Saludos,
    Markus

  12. #12
    Fecha de Ingreso
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Cita Originalmente escrito por charangohabsburg Ver mensaje
    ¿Puedes confirmar este factor de aproximadamente 1.5?
    No. Lo único que puedo confirmar es que la guitarra montada tiene una curvatura inferior a la de la solera; o sea, sí pierde, pero no puedo decir en qué proporción

  13. #13
    Fecha de Ingreso
    Feb 2008
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Pongo este hilo a disposición de todos, esperando que sirva para la comprensión de, por ejemplo las consecuencias de la magnitud del domado (abombamiento) de la tapa, y otras características geométricas de la guitarra.

  14. #14
    Fecha de Ingreso
    Nov 2008
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    6

    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem

    Hola Markus,

    los enlaces se han perdido. Sería de gran ayuda poder estudiar esas formulas que propones.

    Saludos,

  15. #15
    Fecha de Ingreso
    Feb 2008
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    Re: Álgebra y geometría del angulo entre mástil y tapa armónica. Cálculos y un esquem


    Cita Originalmente escrito por pablicki Ver mensaje
    Hola Markus,

    los enlaces se han perdido. Sería de gran ayuda poder estudiar esas formulas que propones.
    En enero pasado había un problema mayor en el servidor de mi propia web. No estaba consciente de que la mayor parte de mis imágenes para guitarra.artepulsado se ha desaparecido. Tengo todavía todo en mi ordenador y trataré de volver a subir todo.

    Gracias por avisar.

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